Математик ЧелГУ доказала теоремы для нового класса уравнений
15 октября 2026 г.
Ассистент кафедры математического анализа математического факультета Челябинского государственного университета Татьяна Захарова успешно защитила диссертацию на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. Защита состоялась в Уфимском университете науки и технологий.
Тема диссертации — «Квазилинейные эволюционные уравнения с дробными производными и дробные степени операторов». Специальность: 1.1.2. — дифференциальные уравнения и математическая физика (физико-математические науки). Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа ЧелГУ Владимир Фёдоров.
В работе исследуются квазилинейные дифференциальные уравнения, в которых скорость изменения искомой величины задаётся дробной производной Герасимова — Капуто. Такие уравнения возникают при моделировании процессов в средах со сложной структурой, для которых характерны эффекты памяти или нелокальность взаимодействия (например, в теории вязкоупругости). Нелинейность в рассматриваемых уравнениях зависит от нескольких младших дробных производных, а линейная часть является секториальной, то есть порождает аналитическое разрешающее семейство операторов.
Для таких уравнений доказаны теоремы о локальной и глобальной однозначной разрешимости задачи Коши. Основным инструментом исследования служит построенная в работе теория комплексных степеней секториального оператора. Она позволяет исследовать уравнения в частных производных, нелинейные относительно производных по пространственным переменным.
Научная значимость работы состоит в том, что доказаны теоремы о существовании и единственности решения для новых классов начально-краевых задач для дифференциальных уравнений, в том числе уравнений в частных производных.
Практическая значимость — полученные теоремы можно применять к конкретным задачам математической физики. Автор показала это на примерах уравнений Кана — Хиллиарда и Аллена — Кана теории фазового поля, а также на дробной модели термоконвекции вязкоупругой жидкости. Эти результаты могут быть полезны при исследовании задач вязкоупругости и гидродинамики.
В работе исследуются квазилинейные дифференциальные уравнения, в которых скорость изменения искомой величины задаётся дробной производной Герасимова — Капуто. Такие уравнения возникают при моделировании процессов в средах со сложной структурой, для которых характерны эффекты памяти или нелокальность взаимодействия (например, в теории вязкоупругости). Нелинейность в рассматриваемых уравнениях зависит от нескольких младших дробных производных, а линейная часть является секториальной, то есть порождает аналитическое разрешающее семейство операторов.
Для таких уравнений доказаны теоремы о локальной и глобальной однозначной разрешимости задачи Коши. Основным инструментом исследования служит построенная в работе теория комплексных степеней секториального оператора. Она позволяет исследовать уравнения в частных производных, нелинейные относительно производных по пространственным переменным.
Научная значимость работы состоит в том, что доказаны теоремы о существовании и единственности решения для новых классов начально-краевых задач для дифференциальных уравнений, в том числе уравнений в частных производных.
Практическая значимость — полученные теоремы можно применять к конкретным задачам математической физики. Автор показала это на примерах уравнений Кана — Хиллиарда и Аллена — Кана теории фазового поля, а также на дробной модели термоконвекции вязкоупругой жидкости. Эти результаты могут быть полезны при исследовании задач вязкоупругости и гидродинамики.
«Защита стала для меня важным событием. Я получила обратную связь от ведущей организации и официальных оппонентов, это позволило увидеть работу со стороны, — делится Татьяна Захарова. — Искренне благодарю своего научного руководителя Владимира Евгеньевича Фёдорова за поддержку и помощь на каждом этапе исследования. Также благодарю официальных оппонентов Сергея Михайловича Ситника и Михаила Валентиновича Фалалеева и ведущую организацию — Новосибирский национальный исследовательский государственный университет — за детальный разбор и ценные замечания. Для меня защита — это не только итог работы, но и возможность понять, куда двигаться дальше».
